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4 計算してみたら


表 1: 図5(a) の解
(解 1) e1=e2, e3=e4, e5=e14, e6=e7, e8=e13, e9=e12, e10=e11
(解 2) e1=e2, e3=e4, e5=e14, e6=e11, e7=e10, e8=e9, e12=e13
(解 3) e1=e4, e2=e3, e5=e8, e6=e7, e9=e10, e11=e14, e12=e13
(解 4) e1=e4, e2=e3, e5=e10, e6=e9, e7=e8, e11=e14, e12=e13
(解 5) e1=e4, e2=e3, e5=e14, e6=e7, e8=e13, e9=e12, e10=e11
(解 6) e1=e4, e2=e3, e5=e14, e6=e11, e7=e10, e8=e9, e12=e13
(解 7) e1=e6, e2=e5, e3=e4, e7=e14, e8=e11, e9=e10, e12=e13
(解 8) e1=e6, e2=e5, e3=e4, e7=e14, e8=e13, e9=e12, e10=e11
(解 9) e1=e8, e2=e5, e3=e4, e6=e7, e9=e10, e11=e14, e12=e13
(解 10) e1=e10, e2=e9, e3=e4, e5=e8, e6=e7, e11=e14, e12=e13
(解 11) e1=e10, e2=e9, e3=e8, e4=e7, e5=e6, e11=e14, e12=e13
(解 12) e1=e12, e2=e5, e3=e4, e6=e7, e8=e11, e9=e10, e13=e14
(解 13) e1=e12, e2=e5, e3=e4, e6=e11, e7=e10, e8=e9, e13=e14
(解 14) e1=e12, e2=e11, e3=e4, e5=e10, e6=e9, e7=e8, e13=e14
(解 15) e1=e12, e2=e11, e3=e8, e4=e7, e5=e6, e9=e10, e13=e14
(解 16) e1=e14, e2=e11, e3=e4, e5=e10, e6=e9, e7=e8, e12=e13
(解 17)  e1=e14, e2=e11, e3=e8, e4=e7, e5=e6, e9=e10, e12=e13

 


表 2: 図5(b) の解
(解 1) e1=e4, e2=e3, e5=e10, e6=e7, e8=e9, e11=e14, e12=e13
(解 2) e1=e4, e2=e3, e5=e10, e6=e9, e7=e8, e11=e14, e12=e13
(解 3) e1=e4, e2=e3, e5=e14, e6=e9, e7=e8, e10=e13, e11=e12
(解 4) e1=e4, e2=e3, e5=e14, e6=e13, e7=e10, e8=e9, e11=e12
(解 5) e1=e4, e2=e3, e5=e14, e6=e13, e7=e12, e8=e11, e9=e10
(解 6) e1=e6, e2=e5, e3=e4, e7=e10, e8=e9, e11=e14, e12=e13
(解 7) e1=e6, e2=e5, e3=e4, e7=e12, e8=e11, e9=e10, e13=e14
(解 8) e1=e8, e2=e5, e3=e4, e6=e7, e9=e14, e10=e13, e11=e12
(解 9) e1=e8, e2=e7, e3=e6, e4=e5, e9=e14, e10=e13, e11=e12
(解 10) e1=e10, e2=e5, e3=e4, e6=e9, e7=e8, e11=e12, e13=e14
(解 11) e1=e10, e2=e5, e3=e4, e6=e9, e7=e8, e11=e14, e12=e13
(解 12) e1=e10, e2=e7, e3=e6, e4=e5, e8=e9, e11=e12, e13=e14
(解 13) e1=e10, e2=e7, e3=e6, e4=e5, e8=e9, e11=e14, e12=e13
(解 14) e1=e12, e2=e5, e3=e4, e6=e11, e7=e10, e8=e9, e13=e14
(解 15) e1=e12, e2=e11, e3=e6, e4=e5, e7=e10, e8=e9, e13=e14
(解 16) e1=e14, e2=e5, e3=e4, e6=e13, e7=e10, e8=e9, e11=e12
(解 17) e1=e14, e2=e5, e3=e4, e6=e13, e7=e12, e8=e11, e9=e10

 表1と表2は、図5(a)と図5(b)に対してコンピュータが出力した解です。どちらも17個の解からなっています。解が多いことには O'Rourke 先生も驚いてしまったようで、最初のうちはプログラムのどこかにバグがあるのではと疑ってしまったそうです。実際に図形を組立ててみて、一部の例外を除いて凸多面体ができることを確認して、ようやく納得するに至ったそうです。その一部の例外とは次のようなものです。

 図6(a)は、表1の(解6)の貼り合わせから得られる展開図です。これを組み立てると表面と裏面を持つ平面的な図形となります。図6(b)は、その表面と裏面のようすです。立体図形に成りそこねた多面体とでもいったらよいのでしょうか、体積が0の空間を包み込むように2枚の平面が重なり合った図形です。このような図形を「平面図形に退化した凸多面体」と呼ぶことにしましょう。

 このような例外を除いて、他のすべての解から凸多面体が必ず作られます。コンピュータプログラムは、凸多面体ができるための必要条件を単に計算しているだけですから、これは意外です。でも、次のような定理があることを知れば納得ができると思います。

アレキサンドロフの定理 (1958) 多角形の周囲の辺の貼り合わせが与えられ、条件(C1),(C2),(C3)をすべて満たすならば、その貼り合わせはただ1つの凸多面体(平面図形に退化した凸多面体を含む)を決定する。

 この定理を用いると、コンピュータプログラムが求めた解から、平面図形に退化してしまう一部の例外を除き、常にただ1つの凸多面体が得られることが分かります。

 表2の17個の解のうち、5個だけが平面図形に退化し、残りの12個は凸多面体になります。その内訳は、四面体2個、五面体3個、六面体2個、八面体5個です。


平田浩一